Continuation de solutions quasi-périodiques à deux fréquences par équilibrage harmonique

Overview & Synopsis

Un système non linéaire peut avoir des solutions périodiques , qui évoluent selon les paramètres du système. L'étude de cette évolution des solutions, appelée continuation, a un intérêt tout particulier en acoustique musicale, de nombreux instruments reposant sur l'excitation d'un système non linéaire dont le musicien contrôle certains paramètres. Les solutions périodiques peuvent être cherchées sous forme de séries de Fourier tronquées (méthode de l' Équilibrage Harmonique) ; la période est une des inconnues. Plusieurs solutions stables peuvent être mises en évidence par la continuation pour les mêmes paramètres de jeu, illustrant la dépendance aux conditions initiales. La méthode donne aussi accès aux solutions instables des modèles. Un défi important concerne la recherche des solutions quasi-périodiques à deux fréquences incommensurables (aussi appelés "sons multiphoniques" par les musiciens). Nous avons développé une méthode de recherche de ces solutions, représentées par des séries doubles de Fourier. Comme dans le cas périodique , une méthode de continuation permet de suivre la branche de solutions obtenues. Nous illustrons cette méthode sur un modèle réduit d'instrument à anche.