Equations de Hamilton-Jacobi sur des graphes

Overview & Synopsis

Ce manuscrit s’intéresse à l’analyse mathématique rigoureuse d’équations aux dérivées partielles (EDP) posées sur des graphes et des variétés riemanniennes discrètes, avec un accent particulier sur les équations d’Eikonal et d’osmose. Ces équations apparaissent naturellement dans de nombreuses applications, notamment en traitement d’images, apprentissage semi-supervisé et physique mathématique. Nous développons d’abord une théorie de la solution de viscosité adaptée à un cadre non local pour l’équation d’Eikonal dans un domaine euclidien. Nous prouvons l’existence, l’unicité et la régularité des solutions pour les équations locales et non locales. Nous établissons ensuite des bornes d’erreur explicites entre les solutions des problèmes non locaux et leurs analogues locaux, à la fois en temps continu et sous discrétisation temporelle (Euler explicite et implicite). Ces résultats sont ensuite appliqués à des graphes pondérés aléatoires, démontrant que la solution discrète converge uniformément vers la solution de viscosité du problème local lorsque le nombre de sommets croît et que le pas de temps tend vers zéro. Le chapitre suivant étend cette analyse au cadre des variétés riemanniennes compactes, permettant de généraliser l’équation d’Eikonal à des graphes définis sur des espaces non-euclidiens. Sous des hypothèses naturelles sur la géométrie de la variété et l’échelle du noyau, nous prouvons la consistance des modèles non-locaux et la convergence quasi-sûre de la solution discrète vers la solution de viscosité locale, avec des bornes d’erreur explicites en fonction de la taille du graphe et du pas de temps. Enfin, le manuscrit traite de l’équation d’osmose, une EDP linéaire de type diffusion-transport asymétrique, couramment utilisée en traitement d’images. Nous introduisons une version non locale de ce modèle et démontrons sa bien-poséité. Nous établissons la convergence des solutions non locales vers celles du modèle local, puis nous proposons une discrétisation sur graphe qui conserve la positivité, la moyenne et l’unicité de l’état stationnaire. Des résultats numériques illustrent l’efficacité du modèle pour des tâches d’édition de couleur sur des maillages.