Méthodes Éléments Finis non-conformes adaptées à la conception en temps réel de jumeaux numériques d'organes

Overview & Synopsis

Φ-FEM est une nouvelle méthode éléments finis, proposée pour résoudre des équations aux dérivées partielles sur des domaines complexes, en utilisant des maillages simples non-conformes. La méthode repose sur l'utilisation d'une fonction level-set φ, décrivant le domaine et sa frontière. Dans ce manuscrit, nous rappelons d'abord la méthode appliquée à la résolution de problème de Poisson avec conditions de Dirichlet. Nous proposons ensuite une nouvelle façon de trater ce problème avec une version pénalisée de la méthode, offrant une convergence optimale. Par la suite, nous étendons notre étude à des problèmes complexes et nous proposons en particulier un schéma φ-FEM numériquement optimal pour résoudre le problème de Poisson avec conditions mixtes Dirichlet/Neumann. Nous proposons également différents schémas φ-FEM permettant de résoudre l'équation de la chaleur ou des problèmes d'élasticité linéaire et non linéaire. La suite du manuscrit est dédiée à la présentation de plusieurs évolutions de φ-FEM. Dans un premier temps, nous proposons un schéma aux différences finies basé sur l'approche φ-FEM. Pour obtenir une méthode temps réel, nous explorons ensuite la combinaison de φ-FEM avec les opérateurs neuraux, où nous proposons φ-FEM-FNO, capable de prédire des résultats précis beaucoup plus rapidement que les méthodes éléments finis. Finalement, dans l'idée de proposer diverses pistes d'évolutions, nous proposons deux combinaisons avec l'approche multigrid : l'une basée uniquement sur φ-FEM, l'autre sur φ-FEM-FNO. Les résultats proposés ouvrent alors de nombreux challenges et perspectives pour φ-FEM.