Actions exponentielles et idéaux premiers

Overview & Synopsis

Soit g un groupe de Lie nilpotent, connexe, simplement connexe tel que son algèbre de Lie g soit un d-module exponentiel, d étant une algèbre exponentielle de dérivations de g. Soit d le groupe de Lie connexe, simplement connexe d'algèbre de Lie d. On montre les résultats suivants: les idéaux d-invariants maximaux de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables sur g (resp. de l'algèbre de schwartz de g) coïncident avec les noyaux des d-orbites fermées du dual de g (resp. avec les restrictions de ces noyaux à l'algèbre de schwartz). Les idéaux d-premiers fermés propres de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables (resp. les idéaux d-premiers propres de l'algèbre de Schwartz, fermés dans la topologie induite par une norme de Schwartz quelconque) coïncident avec les noyaux des d-orbites, non nécessairement fermées (resp. avec les restrictions de ces noyaux à l'algèbre de Schwartz). On a l'équivalent de la propriété de Wiener pour les idéaux d-invariants. Pour une d-orbite fermée, le noyau de l'orbite modulo l'idéal minimal fermé associé à cette orbite (dans l'algèbre de convolution des fonctions intégrables) est une algèbre nilpotente. Pour une d-orbite fermée, la restriction du noyau de l'orbite à l'algèbre de Schwartz est dense dans le noyau. De plus, l'adhérence de toute d-orbite contient une d-orbite fermée. Ces résultats généralisent des propriétés bien connues pour les groupes de Lie nilpotents